黎曼函数(什么是黎曼函数)

2021-09-29 07:11:00

什么是黎曼函数

什么是黎曼函数

黎曼函数:当X在[0,1]区间时,当X=P/Q时(P/Q为既约真分数),R(X)=1/Q;

当X=0或1时,R(X)=0。

黎曼函数是黎曼构造的一个特殊函数,在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。

如何用MATLAB画黎曼函数?

如何用MATLAB画黎曼函数?

hold on;n=100;%这个数你自己定,反正到无穷大是不可能了

for i=2:n

j=1:i-1;

j=j(gcd(i,j)==1);

plot(j/i,1/i,'r.');

end

黎曼函数提出的意义?

黎曼函数提出的意义?

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

在证明素数定理的过程中,黎曼提出了一个论断:Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了,因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决,甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设,则可带动许多问题的解决。

进展:Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢? 在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数: Riemann ζ 函数。 这个函数虽然挂着 Riemann 的大名, 其实并不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 虽然不是这一函数的提出者, 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解, 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为了纪念 Riemann 的卓越贡献, 就用他的名字命名了这一函数。

那么究竟什么是 Riemann ζ 函数呢? Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)

ζ(s) = ∑n n-s (Re(s) > 1)

在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓, 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分, 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为:如右上角图

式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发, 沿实轴上方积分至原点附近, 环绕原点积分至实轴下方, 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分; 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广, 对于正整数 s>1: Γ(s)=(s-1)!。 可以证明, 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。

编辑本段黎曼猜想

运用右上角图中的积分表达式可以证明, Riemann ζ 函数满足以下代数关系式:

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)

从这个关系式中不难发现, Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单, 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外, Riemann ζ 函数还有许多其它零点, 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂, 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想。

Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

这就是 Riemann 猜想的内容, 它是 Riemann 在 1859 年提出的。从其表述上看, Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题,但它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。

编辑本段证明黎曼猜想的尝试

黎曼1859年在他的论文 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe' 中提及了这个著名的猜想,但它并非该论文的中心目的,他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ½ + it上,以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。

1896年,雅克·阿达马和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性,这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。

1900年,大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中,黎曼猜想与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上第8号问题。当被问及若他一觉醒来已是五百年后他将做什么时,希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明。(Derbyshire 2003:197; Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16). 黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。

1914年,高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线Re(s) = ½上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方(而且有可能是最主要的零点)。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作(临界线定理)也就是计算零点在临界线 Re(s) = ½ 上的平均密度。

近几十年的工作集中于清楚的计算大量零点的位置(希望借此能找到一个反例)以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界(希望能把上界降至零)

过去数十年很多数学家队伍声称证明了黎曼猜想,而截至2007年为止有少量的证明还没被验证。但它们都被数学社群所质疑,而专家们多数并不相信它们是正确的。艾希特大学的 Matthew R. Watkins 为这些或严肃或荒唐的声明编辑了一份列表,而一些其它声称的证明可在arXiv数据库中找到。

黎曼蔡塔函数的表达式?

黎曼蔡塔函数的表达式?

zeta(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...

=sigma(1/x^s, x=1,2,3,...)

文章来源: http://www.scpaean.com/jiaoyu/1830283.html

标签:大学

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